Question

【题目】在数轴上，对于不重合的三点A，B，C，给出如下定义：

若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就把点C叫做（A，B）的和谐点.

例如：如图，点A表示的数为，点B表示的数为2. 表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1. 那么点C是（A，B）的和谐点；又如，表示数0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是（A，B）的和谐点，但点D是（B，A）的和谐点.

（1）当点A表示的数为，点B表示的数为8时，

①若点C表示的数为4，则点C （填“是”或“不是”）（A，B）的和谐点；

②若点D是（B，A）的和谐点，则点D表示的数是 ；

（2）若A，B在数轴上表示的数分别为-2和4，现有一点C从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，当点C到达点A时停止，问点C运动多少秒时，C，A，B中恰有一个点为其余两点的和谐点？

Answer 1

【答案】（1）①是，② 0, -16；（2）点C运动2秒、3秒、4秒时，C，A，B中恰有一个点为其余两点的和谐点.

【解析】

（1）①根据定义，可知点C是【A，B】的和谐点；

②根据定义，讨论点C在线段AB上和在点A左侧的情况；

（2）分C是【A，B】的和谐点、C是【B，A】的和谐点、A是【B，C】的和谐点、B是【A，C】的和谐点四种情况讨论，列出对应方程解答.

（1）①是；② 0，-16

（2）设运动时间为t秒，则，

依题意，得

C是【A，B】的和谐点 ， ；

C是【B，A】的和谐点 ，；

A是【B，C】的和谐点 ， ；

B是【A，C】的和谐点 ， ；

答：点C运动2秒、3秒、4秒时，C，A，B中恰有一个点为其余两点的和谐点.