Question

【题目】问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．

（1）求证：ADBC=APBP．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．

（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，

∵∠DPC=∠A=∠B=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，

∠BPC+∠APD=90°，

∴∠APD=∠BPC，

∴△ADP∽△BPC，

∴ ，

∴ADBC=APBP

（2）结论ADBC=APBP仍成立；

理由：证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，

又∵∠BPD=∠A+∠APD，

∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，

∵∠DPC=∠A=θ，

∴∠BPC=∠APD，

又∵∠A=∠B=θ，

∴△ADP∽△BPC，

∴ ，

∴ADBC=APBP；

（3）解：如下图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵AD=BD=10，AB=12，

∴AE=BE=6

∴DE= =8，

∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，

∴DC=DE=8，

∴BC=10﹣8=2，

∵AD=BD，

∴∠A=∠B，

又∵∠DPC=∠A，

∴∠DPC=∠A=∠B，

由（1）（2）的经验得ADBC=APBP，

又∵AP=t，BP=12﹣t，

∴t（12﹣t）=10×2，

∴t=2或t=10，

∴t的值为2秒或10秒

【解析】（1）要证ADBC=APBP，将等积式转化为比列式，可知需证△ADP∽△BPC，根据已知易证证明∠APD=∠BPC，即可得出结论。
（2）此题需证△ADP∽△BPC，还差一个条件，根据三角形外角性质得出∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠APD，结合已知得出∠BPC=∠APD，即可证得结论。
（3）抓住已知AD=BD，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出DE的长，再以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，得出DC=DE=8，从而求出BC的长，再证明∠DPC=∠A=∠B，根据前两题的证明过程可知ADBC=APBP，建立方程求出t的值。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用因式分解法和三角形的外角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握已知未知先分离，因式分解是其次．调整系数等互反，和差积套恒等式．完全平方等常数，间接配方显优势；三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．