Question

【题目】如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．

(1) 观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；

(2) 若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AP=CQ，证明见解析（2）△PQC是直角三角形，证明见解析

【解析】

根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP=CQ；设PA=3a，PB=4a，PC=5a，由已知可判定△PBQ为正三角形从而可得到PQ=4a，再根据勾股定理判定△PQC是直角三角形．

(1)猜想：AP=CQ，

证明：∵∠ABP+∠PBC=60°,∠QBC+∠PBC=60°，

∴∠ABP=∠QBC.

又AB=BC，BP=BQ，

∴△ABP≌△CBQ，

∴AP=CQ；

(2)由PA:PB:PC=3:4:5,

可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，

连接PQ，在△PBQ中

由于PB=BQ=4a,且∠PBQ=60°，

∴△PBQ为正三角形.

∴PQ=4a.

于是在△PQC中

∵PQ+QC=16a+9a=25a=PC

∴△PQC是直角三角形.