Question

【题目】如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ， 数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）垂直；相等；解：成立，理由如下： ∵∠FAD=∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，
∴∠BCF=90°
∴CF⊥BD
（2）解：当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下：

过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G

则∵∠ACB=45°

∴AG=AC，∠AGC=∠ACG=45°

∵AG=AC，AD=AF，

∵∠GAD=∠GAC﹣∠DAC=90°﹣∠DAC，∠FAC=∠FAD﹣∠DAC=90°﹣∠DAC，

∴∠GAD=∠FAC，

∴△GAD≌△CAF（SAS）

∴∠ACF=∠AGD=45°

∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°

∴CF⊥BC

【解析】解：（1）①CF⊥BD，CF=BD 所以答案是：垂直、相等．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角），以及对正方形的性质的理解，了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．