Question

【题目】如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G.

（1）求证：BG=DE；

（2）若点G为CD的中点，求的值；

（3）在（2）的条件下，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（略）；（2）； （3）.

【解析】试题分析：（1）由于BF⊥DE，所以∠GFD=90°，从而可知∠CBG=∠CDE，根据全等三角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG=DE；

（2）由正方形的性质得到AB=DC，AB∥DC，进而得到AB=2GC，由AB∥DC得到△ABH∽△CGH，再由相似三角形的性质即可得到结论；

（3）设CG=1，从而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，由易证△ABH∽△CGH，所以=2，从而可求出HG的长度，进而求出的值．

（1）∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE，在△BCG与△DCE中，∵∠CBG=∠CDE，BC=CD，∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴BG=DE；

（2）∵ABCD是正方形，∴AB=DC，AB∥DC，∵点G为CD的中点，∴DC=AB=2CG，∵AB∥DC，∴△ABH∽△CGH，∴AB：CG=BH：HG=2：1，∴ ；

（3）设CG=1，∵G为CD的中点，∴GD=CG=1，由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），∴CG=CE=1，∴由勾股定理可知：DE=BG=，∵sin∠CDE=，∴GF=，∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，∴，∴BH=，GH=，∴ =．