Question

【题目】在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE=45°

（1）当CE⊥AB时，点D与点A重合，求证：DE2=AD2+BE2

（2）当AB=4时，求点E到线段AC的最短距离

（3）当点D不与点A重合时，探究：DE2=AD2+BE2是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）；（3）成立，证明见详解.

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质直接得出结果；

（2）当CE⊥AB时，点D与点A重合时，点E到AC的距离最短；过点E作EG⊥AC于点G，由等腰直角三角形的性质，得到AG=GE，然后利用勾股定理即可得到GE的长度；

（3）作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF，根据SAS证得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代换即可解答；

（1）解：如图：当CE⊥AB时，点D与点A重合，

∵CE⊥AB，

∴AE=BE，

∵点D与点A重合，

∴DE=BE，

∴DE2=AD2+BE2；

（2）根据题意，当CE⊥AB时，点D与点A重合时，点E到AC的距离最短；

过点E作EG⊥AC于点G，如图：

在等腰直角三角形ABC中，

∠A=45°，AE=BE=，

∴△AGE是等腰直角三角形，即AG=GE，

由勾股定理，得：，

∴，

∴；

∴点E到线段AC的最短距离为：；

（3）成立；

证明：过点A作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF，CF，

∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠CAB=∠B=45°，

∴∠FAC=45°，

∴△CAF≌△CBE（SAS），

∴CF=CE，∠ACF=∠BCE，

∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，

∴∠ACD+∠BCE=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°，

∵∠ACF=∠BCE，

∴∠ACD+∠ACF=45°，

即∠DCF=45°，

∴∠DCF=∠DCE，

又∵CD=CD，

∴△CDF≌△CDE（SAS），

∴DF=DE，

∵，

∴；