Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC．
（1）猜想直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD=6，cos∠ACD= ，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线MN与⊙O的位置关系是相切，

理由是：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠CAB=∠DAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥MN，

∴OC⊥MN，

∵OC为半径，

∴MN是⊙O切线

（2）解：∵CD=6，cos∠ACD= = ，

∴AC= =10，由勾股定理得：AD=8，

∵AB是⊙O直径，AD⊥MN，

∴∠ACB=∠ADC=90°，

∵∠DAC=∠BAC，

∴△ADC∽△ACB，

∴ = ，

∴ = ，

∴AB=12.5，

∴⊙O半径是 ×12.5=6.25

【解析】（1）连接OC，推出AD∥OC，推出OC⊥MN，根据切线的判定推出即可；（2）求出AD、AB长，证△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB长即可．
【考点精析】关于本题考查的切线的判定定理和解直角三角形，需要了解切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)才能得出正确答案．