Question

【题目】已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为t（s）（0＜t＜4）．连接PQ、MQ、MC．

（1）当t为何值时，PQ∥AB？
（2）当t=3时，求△QMC的面积；
（3）是否存在t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图所示，

AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，

∴Rt△ABC中，AC=4，

若PQ∥AB，则有 = ，

∵CQ=PA=t，CP=4﹣t，QB=5﹣t，

∴ = ，

即20﹣9t+t2=t2，

解得t= ，

当t= 时，PQ∥AB

（2）

解：如图所示，过点P作PD⊥BC于点D，

∴∠PDC=∠A=90°，

∵∠PCD=∠BCA

∴△CPD∽△CBA，

∴ = ，

当t=3时，CP=4﹣3=1，

∵BA=3，BC=5，

∴ = ，

∴PD= ，

又∵CQ=3，PM∥BC，

∴S△QMC= ×3× = ；

（3）

解：存在时刻t= ，使PQ⊥MQ，

理由如下：如图所示，过点M作ME⊥BC的延长线于点E，

∵△CPD∽△CBA，

∴ = = ，

∵BA=3，CP=4﹣t，BC=5，CA=4，

∴ = = ，

∴PD= （4﹣t），CD= （4﹣t）．

∵PQ⊥MQ，

∴∠PDQ=∠QEM=90°，∠PQD=∠QME，

∴△PDQ∽△QEM，

∴ = ，即PDEM=QEDQ．

∵EM=PD= （4﹣t）= ﹣ t，

DQ=CD﹣CQ= （4﹣t）﹣t= ﹣ t，

QE=DE﹣DQ=5﹣[ （4﹣t）﹣t]= + t，

∴（ ﹣ t）2=（ ﹣ t）（ + t），

即2t2﹣3t=0，

∴t= 或t=0（舍去），

∴当t= 时，PQ⊥MQ．

【解析】（1）根据勾股定理求出AC，根据PQ∥AB，得出关于t的比例式，求解即可；（2）过点P作PD⊥BC于D，根据△CPD∽△CBA，列出关于t的比例式，表示出PD的长，再根据S△QMC= QCPD，进行计算即可；（3）过点M作ME⊥BC的延长线于点E，根据△CPD∽△CBA，得出PD= （4﹣t），CD= （4﹣t），再根据△PDQ∽△QEM，得到 = ，即PDEM=QEDQ，进而得到方程（ ﹣ t）2=（ ﹣ t）（ + t），求得t= 或t=0（舍去），即可得出当t= 时，PQ⊥MQ．
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的应用，需要了解测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解才能得出正确答案．