Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．

（1）求证：AC平分∠FAB；

（2）求证：BC2=CECP；

（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】（1）根据已知先证明∠ACF=∠ACE，再根据等角的余角相等即可证得；

（2）只要证明△CBE∽△CPB，可得即可解决问题；

（3）作BM⊥PF于M，则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；

（1）∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，

∵∠BCP=∠BCE，

∴∠ACF=∠ACE，

∵∠AFC=90°，∠AEC=90°，

∴∠FAC=∠EAC，

即AC平分∠FAB；

（2）∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，

∴∠OCP=∠CEB=90°，

∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，

∴∠BCE=∠BCP，

∵CD是直径，

∴∠CBD=∠CBP=90°，

∴△CBE∽△CPB，

∴，

∴BC2=CECP；

（3）如图，作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，

设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，

∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，

∴∠MCB=∠PBM，

∵CD是直径，BM⊥PC，

∴∠CMB=∠BMP=90°，

∴△BMC∽△PMB，

∴，

∴BM2=CMPM=3a2，

∴BM=a，

∴tan∠BCM=，

∴∠BCM=30°，

∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°，

∴的长=．