Question

【题目】如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G、E分别是边AB、BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平方线CF于点F．
（1）证明：△AGE≌△ECF；
（2）求△AEF的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，

∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°﹣45°=135°；

又∵CF是∠DCH的平分线，

∴∠DCF=∠FCH=45°，

∠ECF=90°+45°=135°；

在△AGE和△ECF中，

；

∴△AGE≌△ECF

（2）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF；

又∵∠AEF=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形；

∵AB=a，E为BC中点，

∴BE= BC= AB= a，

根据勾股定理得：AE= = a，

∴S△AEF= a2

【解析】（1）根据正方形的性质，易证得AG=EC，∠AGE=∠ECF=135°；再加上（1）得出的相等角，可由ASA判定两个三角形全等；（2）在Rt△ABE中，根据勾股定理易求得AE2；由（2）的全等三角形知：AE=EF，即△AEF是等腰Rt△，因此其面积为AE2的一半，由此得解．
【考点精析】掌握正方形的性质是解答本题的根本，需要知道正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．