Question

【题目】如图：、是锐角的两条高，、分别是、的中点，若EF=6，.

（1）证明：；

（2）判断与的位置关系，并证明你的结论；

（3）求的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）MN垂直平分EF，证明见解析；（3）MN＝.

【解析】

（1）依据BE、CF是锐角△ABC的两条高，可得∠ABE＋∠A＝90°，∠ACF＋∠A＝90°，进而得出∠ABE＝∠ACF；

（2）连接EM、FM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝FM＝BC，再根据等腰三角形三线合一的性质解答；

（3）求出EM、EN，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解：（1）∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，

∴∠ABE＋∠A＝90°，∠ACF＋∠A＝90°，

∴∠ABE＝∠ACF；

（2）MN垂直平分EF．

证明：如图，连接EM、FM，

∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，M是BC的中点，

∴EM＝FM＝BC，

∵N是EF的中点，

∴MN垂直平分EF；

（3）∵EF＝6，BC＝24，

∴EM＝BC＝×24＝12，EN＝EF＝×6＝3，

由勾股定理得，MN＝．