Question

【题目】阅读理解：

方法准备：

我们都知道：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，若AD=a，BC=b，AB=c，那么四边形ABCD的面积S=．

如图2，在四边形ABCD中，两条对角线AC⊥BD，垂足为O，则四边形ABCD的面积=AC×OD+AC×OB=AC×（OD+OB）=AC×BD．

解决问题：

（1）我们以a、b 为直角边，c为斜边作两个全等的直角△ABE与△FCD，再拼成如图3所示的图形，使B，E，F，C四点在一条直线上（此时E，F重合），可知△ABE≌△FCD，AE⊥DF． 请你证明：a2+b2=c2．

（2）固定△FCD，再将△ABE沿着BC平移到如图4所示的位置（此时B，F重合），请你继续证明：a2+b2=c2．

（3）当△ABE平移到如图5的位置，结论a2+b2=c2还成立吗？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）成立，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）连接AD，由四边形ABCD的面积=△ABE的面积+△FCD的面积+△ADE的面积，得出（a+b）2=ab×2+c2，即可得出结论；

（2）连接AD、DE，四边形ABCD的面积=四边形ABED的面积+△DCE的面积，得出（a+b）×a=c2+b（a﹣b），即可得出结论；

（3）连接AF、AD、DE，设CE=x，则BE=b，FB=a﹣b﹣x，由△ABF的面积+四边形ABCD的面积=四边形AFED的面积+△CDE的面积，得出a（a﹣b﹣x）+（a+b）（b+x）=c2+bx，即可得出结论．

（1）证明：连接AD，如图1所示：

则四边形ABCD是直角梯形，

∴四边形ABCD的面积=（a+b）（a+b）=（a+b）2，

∵四边形ABCD的面积=△ABE的面积+△FCD的面积+△ADE的面积，

即（a+b）2=ab×2+c2，

化简得：（a+b）2=2ab+c2，

∴a2+b2=c2；

（2）证明：连接AD、DE，如图2所示：

则四边形ABCD的面积=四边形ABED的面积+△DCE的面积，

即（a+b）×a=c2+b（a﹣b），

化简得：ab+a2=c2+ab﹣b2，

∴a2+b2=c2；

（3）成立；理由如下：

连接AF、AD、DE，如图3所示：

设CE=x，则BE=b，FB=a﹣b﹣x，

∵△ABF的面积+四边形ABCD的面积=四边形AFED的面积+△CDE的面积，

∴a（a﹣b﹣x）+（a+b）（b+x）=c2+bx，

化简得：a2﹣ab﹣ax+ab+ax+b2+bx=c2+bx，

∴a2+b2=c2．