Question

【题目】如图，半圆O的直径MN=6cm，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=6cm，半圆O以1cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点M、N始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=4cm．

（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？

（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切时，如果半圆O与直线MN围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．

Answer 1

【答案】(1)1s、4s、7s、16s;(2)

【解析】试题分析：

（1）结合题意可知，本题存在四种可能，故分以下四种情况讨论计算即可：①如图1，圆O在直线AC左侧和直线AC相切；②如图2，圆O和直线AB左侧和直线AB相切；③如图3，圆O在直线AC右侧和直线AC相切；④如图4，圆O在直线AB右侧和直线AB相切；

（2）由（1）可知，在图2和图3的情形中，半圆O和△ABC有重叠部分，按图分情况计算即可.

试题解析：

（1）①如图1所示：当点N与点C重合时，AC⊥OC，OC=ON=3cm，

∴AC与半圆O所在的圆相切．

∴此时点O运动了1cm，故运动时间为：t=1（s）

②如图2所示；

当点O运动到点C时，过点O作OF⊥AB，垂足为F．

∵在Rt△FOB中，∠FBO=30°，OB=6cm，

∴OF=3cm，即OF等于半圆O的半径，

∴AB与半圆O所在的圆相切．

此时点O运动了4cm，故运动时间为：t=4（s）

③如图3所示；过点O作OH⊥AB，垂足为H．

当点O运动到BC的中点时，AC⊥OC，OC=OM=3cm，

∴AC与半圆O所在的圆相切．

此时点O运动了7cm，故运动时间为：t=7（s）．

④如图4所示；

当点O运动到B点的右侧，且OB=6cm时，过点O作OQ⊥AB，垂足为Q．

∵在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，

∴OQ=OB=3cm，即OQ等于半圆O所在的圆的半径，

∴直线AB与半圆O所在的圆相切．

此时点O运动了16cm，所求运动时间为：t=16（s）．

综上所述：当点的值为1s，4s，7s，16s时，半圆O所在圆和△ABC的边所在直线相切.

（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图2与3所示的两种情形．

①如图2所示：重叠部分是圆心角为90°，半径为3cm的扇形，所求重叠部分面积=（cm2）；

②如图③所示：

设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H．

则PH=BH．

∵在Rt△OBH中，∠OBH=30°，OB=3cm

∴OH=1.5cm，BH=cm，BP=cm，

∴S△POB=BPOH=（cm2）.

又∵∠DOP=2∠DBP=60°，

∴S扇形DOP=（cm2），

∴所求重叠部分面积为：S△POB+S扇形DOP=（cm2）．