Question

【题目】如图，抛物线与直线交于A、B两点，其中A在y轴上，点B的横坐标为4，P为抛物线上一动点，过点P作PC垂直于AB，垂足为C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在直线AB上方的抛物线上，设P的横坐标为m，用m的代数式表示线段PC的长，并求出线段PC的最大值及此时点P的坐标.

（3）若点P是抛物线上任意一点，且满足0°＜∠PAB≤45°。请直接写出：

①点P的横坐标的取值范围；

②纵坐标为整数点P为“巧点”，“巧点”的个数。

Answer 1

【答案】（1）

（2），

（3） 且 7个.

【解析】试题分析：（1）求出A、B两点坐标代入抛物线的解析式即可解决问题．

（2）作PF⊥x轴于F，交AB于E，直线AB交x轴于D．设P（m，-m2+m+1），则E（m， m+1），PE=-m2+4m，由△PCE∽△DOA，可得，构建二次函数后即可解决问题．

（3）①如图2中，取点F（1，4），连接AF、FB，首先证明△FAB是等腰直角三角形，推出∠FAB=45°，设直线AF交抛物线于P，可得直线AF的解析式为y=3x+1，利用方程组求出∠PAB=45°时，点P的坐标即可解决问题，再根据对称性求出P′A⊥PA时的点P′的坐标即可解决问题．

②观察图象可知点P的纵坐标的范围3＜yp≤或-≤yP＜3，所以整数yp为4，5，6，0，1，2，又点P的横坐标≤m＜4．推出对应的点P有7个，

试题解析：（1）由题意A（0，1），B（4，3），

把A（0，1），B（4，3）代入y=-x2+bx+c得到

，

解得，

∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1．

（2）作PF⊥x轴于F，交AB于E，直线AB交x轴于D．

由题意D（-2，0），A（0，1），

设P（m，-m2+m+1），则E（m， m+1），PE=-m2+4m

∴OA=1，OD=2，AD=，

∵PF∥OA，

∴∠DAO=∠DEF=∠PEC，

∵∠AOD=∠PCE=90°，

∴△PCE∽△DOA，

∴，

∴，

∴PC=-（m2-4m），

∵PC=-（m2-4m）=-（m-2）2+，

∵-＜0，

∴m=2时，PC有最大值．最大值为，此时P（2，6）；

（3）①如图2中，取点F（1，4），连接AF、FB，

∵A（0，1），B（4，3），

∴AF=，FB=，AB=

∴AF=FB，AF2+BF2=AB2，

∴△FAB是等腰直角三角形，

∴∠FAB=45°，设直线AF交抛物线于P，

∴直线AF的解析式为y=3x+1，

由

解得或，

∵A（0，1），

∴P（， ），

当P′A⊥PA时，

直线P′A的解析式为y=-x+1，

∴，解得或，

∴P′（，-）

∴观察图象可知，满足条件0°＜∠PAB≤45°的点P的横坐标≤m＜4或4＜m≤．

②观察图象可知点P的纵坐标的范围3＜yp≤或-≤yP＜3

∴整数yp为4，5，6，0，1，2，又点P的横坐标≤m＜4或4＜m≤．

∴对应的点P有7个，

∴“巧点”的个数为7个．