Question

【题目】如图，正方形ABCD中，对角线AC上有一点P，连接BP、DP，过点P作PE⊥PB交CD于点E，连接BE．

（1）求证：BP=EP；
（2）若CE=3，BE=6，求∠CPE的度数；
（3）探究AP、PC、BE之间的数量关系，并给予证明．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，AC平分∠BCD， 即 ∠BCP＝∠DCP，
又CP是公共边 所以△CBP≌△CDP
∴ BP＝DP, ∠PBC＝∠PDC
∵ ∠BPE－∠BCE＝90°，∠BPE+∠BCE+∠PBC+∠PEC＝360°
∴∠PBC+∠PEC＝90°
∵ ∠PED+∠PEC＝90°
∴∠PED＝∠PBC∴∠PED＝∠PDC∴EP＝DP,
∴ BP＝DP
（2）解：取BE的中点F，连CF，

则CE＝CF－EF＝3,
∴△CEF是等边三角形，则∠BEC＝60°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠EBC+∠BEC＝90°,
∴∠EBC ＝30°,
∵∠EBC+∠BCP＝∠PEB+∠EPC,
∠PEB＝∠BCP＝45°∴∠EBC ＝∠EPC＝30°﹒
（3）解：过点P作PC⊥AC，交CD的延长线于C,

得△BPC≌△EPC, CP＝CP,BC＝EC,
∵AB＝BC，
∴AB＝EC∵AB∥EC
∴四边形ABEC/为平行四边形，
∴AC＝BE,
∵在Rt△APC中，CA2＝AP2+CP2
∴BE2＝AP2+PC2﹒
【解析】 （1）根据正方形的性质得出CB＝CD，∠BCP＝∠DCP，就可证明△CBP≌△CDP，得出BP＝DP, ∠PBC＝∠PDC，再证明∠PED＝∠PBC，从而得到∠PED＝∠PDC，根据等角对等边得出EP＝DP,即可证得结论。
（2）根据已知BE=2CE及Rt△BCE，因此取BE的中点F，连CF，根据已知及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出CE＝CF=EF，就可证得△CEF是等边三角形，得出∠BEC＝60°，就可求出∠EBC ＝30°,再证明∠PEB＝∠BCP＝45°，根据三角形内角和定理可求出∠CPE的度数。
（3）过点P作PC⊥AC，交CD的延长线于C，易证△BPC≌△EPC，得出 CP＝CP,BC＝EC,再证明四边形ABEC/为平行四边形，得出AC＝BE，然后根据勾股定理即可得出结论。