Question

【题目】如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=2 ．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB= ．

Answer 1

【答案】8
【解析】解：过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′=4，连接A′B，与直线b交于点N，过M作直线a的垂线，交直线a于点N，连接AN，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，如图．

∵AA′⊥a，MN⊥a，
∴AA′∥MN．
又∵AA′=MN=4，
∴四边形AA′NM是平行四边形，
∴AM=A′N．
由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．
由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．
∵AE=2+3+4=9，AB=2 ，
∴BE= = ，
∵A′E=AE﹣AA′=9﹣4=5，
∴A′B= =8
所以AM+NB的最小值为8．
所以答案是：8．
【考点精析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题的相关知识点，需要掌握已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径才能正确解答此题．