Question

【题目】如图，直线y=kx+3与x轴，y轴分别交于A，B两点，tan∠OAB= ，点C（x，y）是直线y=kx+3上与A，B不重合的动点．

（1）求直线y=kx+3的解析式；
（2）当点C运动到什么位置时△AOC的面积是6；
（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB相似，且△BCD的面积是△AOB的面积的 ？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直线y=kx+3与y轴分别交于B点，

∴B（0，3），

∵tan∠OAB= ，

∴OA=4，

∴A（4，0），

∵直线y=kx+3过A（4，0），

∴4k+3=0，

∴k=﹣ ，

∴直线的解析式为：y=﹣ x+3

（2）

解：∵A（4，0），

∴AO=4，

∵△AOC的面积是6，

∴△AOC的高为：3，

∴C点的纵坐标为3，

∵直线的解析式为：y=﹣ x+3，

∴3=﹣ x+3，

x=0，

∴点C运动到B点时，△AOC的面积是6（C是与A、B不重合的动点，所以不符合题意）；

如图1，当C点移动到x轴下方时，作CE⊥x轴于点E，

∵△AOC的面积是6，

∴ EC×AO=6，

解得：EC=3，

∴C点纵坐标为：﹣3，

∴C点横坐标为：﹣3=﹣ x+3，

∴x=8，

∴点C点坐标为（8，﹣3）时，△AOC的面积是6

（3）

解：①如图2，当CD⊥y轴于点D时，△BCD∽△BAO，

∵△BCD的面积是△AOB的面积的 ，

∴相似比= ，∴BD= BO=1.5，CD= OA=2，

∴C（﹣2，4.5）；

②当CD⊥y轴于点D时，△BCD∽△BAO，

∵△BCD的面积是△AOB的面积的 ，

∴相似比= ，∴BD= BO=1.5，CD= OA=2，

∴C点坐标为：（2，1.5）；

③当CD⊥AB时，△BDC∽△BAO，

∵△BCD的面积是△AOB的面积的 ，

∴相似比= ，

∴BC=1.5，AC=6.5，

过C作CF⊥OA，

则OB∥CF，

∴CF=3.9，FA=5.2，

∴OF=1.2，

∴C（﹣1.2，3.9）；

④当DC⊥AB于点C，△BCD∽△BAO，作CM⊥x轴，

当CB=1.5，BD=2.5，

∴BO∥C′M，

则有OM=1.2，C′M=2.1，

∴C（1.2，2.1）．

【解析】（1）根据直线y=kx+3与y轴分别交于B点，以及tan∠OAB= ，即可得出A点坐标，从而得出一次函数的解析式；（2）根据△AOC的面积是6，得出三角形的高，即可求出C点的坐标；（3）利用△BCD与△AOB相似，利用C点不同位置，得出3种不同图形，进而利用相似，得出C点横、纵坐标，进而得出C点坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解一次函数的性质的相关知识，掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小，以及对一次函数的图象和性质的理解，了解一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远．