Question

【题目】如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，以线段为边在第一象限内作等腰直角三角形，使．

（1）分别求点的坐标；

（2）在轴上求一点，使它到两点的距离之和最小．

Answer 1

【答案】(1) B的坐标是(0,2)，C的坐标是(5,3);(2) P(2,0)．

【解析】

（1）先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作CD⊥x轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C点坐标；

（2）求得B点关于x轴的对称点B'的坐标，连接B'C与x轴的交点即为所求的P点，由B'、C坐标可求得直线B'C的解析式，则可求得P点坐标．

解：∵一次函数中，令x=0得：y=2；
令y=0，解得x=3.
∴B的坐标是(0,2)，A的坐标是(3,0).
作CD⊥x轴于点D．

∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO，
又∵AB=AC，∠BOA=∠CDA=90°，
∴△ABO≌△CAD(AAS)，
∴AD=OB=2，CD=OA=3，OD=OA+AD=5．
则C的坐标是(5,3).

(2)如图，作点B关于x轴的对称点B'，连接CB'交x轴于P，此时PB+PC的值最小．

∵B(0,2)，C(5,3)
∴B'(0,-2)，
设直线C B'的解析式为y=kx+b,

把(0,-2) (5,3)代入y=kx+b中，
可得：，
解得：，
∴直线CB'的解析式为y=x-2，
令y=0，得到x=2，
∴P(2,0)．