Question

【题目】如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y= x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点，O为坐标原点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线y= x2+bx+c向上平移 个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将A（0，﹣4）、B（﹣2，0）代入抛物线y= x2+bx+c中，得：

，

解得：

故抛物线的解析式：y= x2﹣x﹣4

（2）

解：由题意，新抛物线的解析式可表示为：y= （x+m）2﹣（x+m）﹣4+ ，即：y= x2+（m﹣1）x+ m2﹣m﹣ ；

它的顶点坐标P：（1﹣m，﹣1）；

由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）；

设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），把x=4，y=0代入，

∴4k+b=0，b=﹣4，

∴y=x﹣4．

同理直线AB：y=﹣2x﹣4；

当点P在直线AB上时，﹣2（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m= ；

当点P在直线AC上时，（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m=﹣2；

∴当点P在△ABC内时，﹣2＜m＜ ；

又∵m＞0，

∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜

（3）

解：由A（0，﹣4）、C（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；

如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；

∴∠ONB=∠NBA+∠OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠OMB=∠NBA；

如图，在△ABN、△AM1B中，

∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，

∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=ANAM1；

易得：AB2=（﹣2）2+42=20，AN=OA﹣ON=4﹣2=2；

∴AM1=20÷2=10；

而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，

∴OM1=OM2=6，AM2=OM2﹣OA=6﹣4=2．

综上，AM的长为10或2．

【解析】（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解．（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围．（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．