Question

【题目】如图，在直角△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．

（1）求证：MD=ME；
（2）填空：连接OE，OD，当∠A的度数为时，四边形ODME是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在Rt△ABC中，点M是AC的中点，

∴MA=MB，

∴∠A=∠MBA；

∵四边形ABED是圆内接四边形，

∴∠ADE+∠ABE=180°，

而∠ADE+∠MDE=180°，

∴∠MDE=∠MBA；

同理可得∠MED=∠A，

∴∠MDE=∠MED，

∴MD=ME

（2）60°
【解析】解：（2）当∠A=60°时，
则∠ABM=60°，
∴△OAD和△OBE为等边三角形，
∴∠BOE=60°，
∴∠BOE=∠A，
∴OE∥AC，
同理可得OD∥BM，
∴四边形DOEM为平行四边形，
而OD=OE，
∴四边形ODME是菱形．
故答案为60°．

（1）利用直角三角形斜边上的中线性质得MA=MB，则∠A=∠MBA，再利用圆内接四边形的性质证明∠MDE=∠MED，于是得到MD=ME；（2）先证明△OAD和△OBE为等边三角形，再证明四边形DOEM为平行四边形，然后加上OD=OE可判断四边形ODME是菱形．