Question

【题目】如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：

①EF⊥AC； ②四边形ADFE为菱形； ③AD=4AG； ④FH=BD

其中正确的结论有（ ）．

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC.

∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC.

∵F为AB的中点，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EFA，∴FE=AB,

∴∠AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥AC，故①正确，

∵EF⊥AC,∠ACB=90°，∴HF∥BC.

∵F是AB的中点， .

，AB=BD， ，故④说法正确；

∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°,∠BDF=30°.

∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF.

∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EFA(AAS)，∴AE=DF.

∵FE=AB，∴四边形ADFE为平行四边形.

∵AE≠EF，∴四边形ADFE不是菱形；故②说法不正确；

∵四边形ADFE为平行四边形,

， .

∵AD=AB，∴AD=4AG，故③说法正确，

所以正确的有：①③④.故选C.