Question

【题目】如图，一个三角形的纸片ABC，其中∠A=∠C,

（1）把△ABC纸片按 (如图1) 所示折叠，使点A落在BC边上的点F处，DE是折痕．说明 BC∥DF；

（2）把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内时 (如图2)，探索∠C与∠1+∠2之间的大小关系，并说明理由；

（3）当点A落在四边形BCED外时 (如图3)，探索∠C与∠1、∠2之间的大小关系.(直接写出结论)

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠1＋∠2＝2∠C；（3）∠1－∠2＝2∠C.

【解析】

（1）根据折叠的性质得∠DFE=∠A，由已知得∠A=∠C，于是得到∠DFE=∠C，即可得到结论；
（2）先根据四边形的内角和等于360°得出∠A+∠A′=∠1+∠2，再由图形翻折变换的性质即可得出结论；
（3）∠A′ED=∠AED（设为α），∠A′DE=∠ADE（设为β），于是得到∠2+2α=180°，∠1=β-∠BDE=β-（∠A+α），推出∠2-∠1=180°-（α+β）+∠A，根据三角形的内角和得到∠A=180°-（α+β），证得∠2-∠1=2∠A，于是得到结论．

解：(1) 由折叠知∠A=∠DFE,

∵∠A=∠C，

∴∠DFE=∠C，

∴BC∥DF；

(2)∠1＋∠2＝2∠A.理由如下：

∵∠1＋2∠AED＝180°， ∠2＋2∠ADE＝180°，

∴∠1＋∠2＋2(∠ADE＋∠AED)＝360°.

∵∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，

∴∠ADE＋∠AED＝180°－∠A，

∴∠1＋∠2＋2(180°－A)＝360°，

即∠1＋∠2＝2∠C.

(3)∠1－∠2＝2∠A.

∵2∠AED＋∠1＝180°，2∠ADE－∠2＝180°，

∴2(∠ADE＋∠AED)＋∠1－∠2＝360°.

∵∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，

∴∠ADE＋∠AED＝180°－∠A，

∴∠1－∠2＋2(180°－∠A)＝360°，

即∠1－∠2＝2∠C.