Question

【题目】如图：△ABC中CA=CB, ∠ACB=90°，直线m经过点C，AD⊥m，BE⊥m，垂足分别是点D、E.

（1）在图（甲）中，求证：△ACD≌△CBE.你能探索出线段AD、BE、DE之间的关系吗？

（2）在图（乙）中上面的结论还成立吗？为什么？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，DE=AD+BE；（2）成立，理由见解析

【解析】试题分析：（1）根据垂直的性质，可根据“AAS”证明△ADC ≌△CEB，然后根据全等三角形的性质证明即可；

（2）同（1）的证明方法直接可证明.

试题解析：DE=AD+BE

(1)证明：∵AD⊥m ∴∠DAC﹢∠ACD=∠ADC=90°

∵∠ACB=90°∴∠ACD+∠BCE=90°

∴∠DAC=∠BCE

∵BE⊥m ∴∠BEC=90°

在△ADC 和△CEB中

∠ADC=∠CEB=90°

∠DAC=∠BCE

CA=CB

∴△ADC ≌△CEB （AAS）

∴AD=CE DC=BE （全等三角形的对应边相等）

∵DE=DC+CE ∴DE=AD+BE

(2) 在（乙）图中上面的结论仍然成立.

证明：∵AD⊥m ∴∠ADC=90°∠ACD+∠CAD=90°

∵BE⊥m ∴∠CEB=90°

∵∠ACB=90°∴∠ACD+∠BCE=90°

∴∠DAC=∠ECB

在△ADC 和△CEB中

∠ADC=∠CEB=90°

∠DAC=∠ECB

CA=CB

∴△ADC ≌△CEB （AAS）

∴AD=CE DC=BE （全等三角形的对应边相等）

∵DE=DC+CE ∴DE=AD+BE