Question

【题目】如图，已知在正方形ABCD中，F是CD边上一点（不和C，D重合），过点D做DG⊥BF交BF延长线于点G．连接AG，交BD于点E，连接EF，交CD于点M．若DG=6，AG=7 ，则EF的长为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如图作AH⊥BG于H交BC于T，AN⊥GD于N，取BD的中点O，连接OA、OG．

∴∠BAD=∠BGD=90°，

∴OA=OD=OB=OG，

∴A、B、G、D四点共圆，

∴∠AGB=∠ADB=45°，∠AGD=∠ABD=45°，

∴AH=GH，AN=NG，

∵∠N=∠AHG=∠HGN=90°，

∴四边形ANGH是矩形，∵AH=HG，

∴四边形ANGH是正方形，

∵AG=7 ，

∴AH=HG=GN=AN=7，

易证△AND≌△AHB，

∴DN=BH，

∴GD+GB=GN﹣DN+GH+BH=2GN= AG，

∴6+GB=14，

∴GB=8，BD= =10，

∴BH=1，

∵△BHT∽△AHB，

∴BH2=AHHT，

∴HT= ，

∴AT=AH+TH= ，

易证△ABT≌△BCF，

∴AT=BF= ，

∵△BEF∽△BGD，

∴ = ，

∴ = ，

∴EF= ，

故答案为 ．

通过作AH⊥BGAN⊥GD，取BD的中点O构造全等三角形，即△AND≌△AHB，可证出△BEF∽△BGD，利用相似三角形对应边成比例求出EF长.