Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG．

（1）求证：AF⊥DE；

（2）求证：CG=CD．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题（1）正方形ABCD中，AB=BC，BF=AE，且∠ABF=∠DAE=90°，即可证明△ABF≌△DAE，即可得∠DGA=90°，结论成立．

（2）延长AF交DC延长线于M，证明△ABF≌△MCF，说明△DGM是直角三角形，命题得证．

试题解析：（1）∵四边形ABCD为正方形

∴AB=BC=CD=AD，∠ABF=∠DAE=90°，

又∵E，F分别是边AB．BC的中点

∴AE=AB．BF=BC

∴AE=BF．

在△ABF与△DAE中，

，

∴△DAE≌△ABF（SAS）．

∴∠ADE=∠BAF，

∵∠BAF+∠DAG=90°，

∴∠ADG+∠DAG=90°，

∴∠DGA=90°，即AF⊥DE．

（2）证明：延长AF交DC延长线于M，

∵F为BC中点，

∴CF=FB

又∵DM∥AB，

∴∠M=∠FAB．

在△ABF与△MCF中，

∴△ABF≌△MCF（AAS），

∴AB=CM．

∴AB=CD=CM，

∵△DGM是直角三角形，

∴GC=DM＝DC．