Question

【题目】如图，△ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE相交于点P，且∠1=∠2= ∠A．
（1）如图1，若AB=AC，求证：BE=CF；
（2）若图2，若AB≠AC， ①（1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；
②求证： = ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB=AC，

∴∠EBC=∠FCB，

在△BCE与△CBF中， ，

∴△BCE≌△CBF，

∴BE=CF；

（2）解：①成立，理由如下：作∠A的平分线交BC于点D，连结DE、DF，

则∠DAF=∠DAE= ∠A，

∵∠1=∠2= ∠A，

∴∠DAF=∠DAE=∠1=∠2，

∴A、B、D、F四点与A、E、D、C四点分别共圆，

∴BD=DF，DE=DC，

∵∠BDE=∠A，∠CDF=∠A，

∴∠BDE=∠CDF，

在△DEB与△DCF中， ，

∴△DEB≌△DCF，

∴BE=CF；

②由上面的证明易知△DFB与△DEC均为等腰三角形，

∵∠1=∠2，

∴△DFB∽△DEC，

∴ ，

∵AD是△ABC的内角平分线，

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EBC=∠FCB，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）①作∠A的平分线交BC于点D，连结DE、DF，于是得到∠DAF=∠DAE= ∠A，根据已知条件得到∠DAF=∠DAE=∠1=∠2，推出A、B、D、F四点与A、E、D、C四点分别共圆，于是得到BD=DF，DE=DC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据相似三角形的性质得到 ，根据三角形角平分线定理得到 ，等量代换即可得到结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)．