Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．

（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
（2）若AB=6，AD=5，求AF的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：ED与⊙O的位置关系是相切．理由如下：

连接OD，

∵∠CAB的平分线交⊙O于点D，

∴ = ，

∴OD⊥BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

即BC⊥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∴OD⊥DE，

∴ED与⊙O的位置关系是相切。

（2）解：连接BD．

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ABD中，BD= = = ，

∵AB为直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

又∵∠AFC=∠BFD，

∴∠FBD=∠CAD=∠BAD

∴△FBD∽△BAD，

∴ =

∴FD=

∴AF=AD﹣FD=5﹣ = ．

【解析】（1）要证ED与⊙O相切，可知点D在⊙O，由此连接OD，根据∠CAB的平分线交⊙O于点D，证得弧CD=弧BD，再根据垂径定理得出OD⊥BC，根据直径所对的圆周角是直角，证得BC⊥AC，然后证明DE∥BC，由DE⊥AC，即可证得结论。
（2）先在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，再证明△FBD∽△BAD，得出对应边成比例。求出FD的长，根据AF=AD﹣FD，即可得出AF的长
【考点精析】本题主要考查了垂径定理和圆周角定理的相关知识点，需要掌握垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能正确解答此题．