Question

【题目】在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图①位置时，求证：DE=AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图②位置时，试问：DE，AD，BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.

(3)当直线MN绕点C旋转到图③位置时，DE，AD，BE之间的等量关系是 (直接写出答案，不需证明.)

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AD-BE=DE，证明见解析；（3）BE-AD=DE.

【解析】试题分析：

（1）由已知条件易证∠DAC和∠DCA互余，∠ECB和∠DCA互余，由此可得∠DAC=∠ECB，结合题中其它条件证△ADC和△CEB全等可得AD=CE，CD=BE，就可证得：DE=DC+CE=AD+BE；

（2）由（1）中思路证△ADC和△CEB全等可得AD=CE，CD=BE，从而可得：DE=CE-CD=AD-BE；

（3）同（2）中思路证△ADC和△CEB全等可得AD=CE，CD=BE，从而可得：DE=CD-CE=BE-AD.

试题解析：

（1）∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，∠ECB+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ADC和△CEB中： ，

∴△ADC≌△CEB，

∴AD=CE，DC=BE，

又∵DE=DC+CE，

∴DE=AD+BE.

（2）如图②，DE，AD，BE的关系为：DE=AD-BE.理由如下：

∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，∠ECB+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ADC和△CEB中： ，

∴△ADC≌△CEB，

∴AD=CE，DC=BE，

又∵DE=CE-CD，

∴DE=AD-BE.

（3）如图③，DE，AD，BE之间的等量关系是：DE=BE-AD，理由如下：

∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，∠ECB+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ADC和△CEB中： ，

∴△ADC≌△CEB，

∴AD=CE，DC=BE，

又∵DE=CD-CE，

∴DE=BE-AD.