Question

【题目】如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．

（1）求证：∠BAG＝∠BGA；

（2）如图2，若∠ABG＝50°，∠BCD的平分线交AD于点E、交射线GA于点F．求∠AFC的度数；

（3）如图3，线段AG上有一点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）20°或160°；（3）的值是5或．

【解析】

（1）根据平行线的性质可得∠GAD＝∠BGA，然后根据角平分线的定义可得∠BAG＝∠GAD，最后利用等量代换即可求出结论；

（2）根据点E在线段AD上和点E在射线DA的延长线上分类讨论，根据画出对应的图形，然后根据角平分线的定义、平行线的性质和等量代换分别求出结论即可；

（3）根据点M在BP下方和BP上方分类讨论，分别画出对应的图形，设∠ABC＝4x，

根据平行线的性质、三角形的内角和定理和角平分线的定义分别表示出∠ABM和∠GBM，即可求出结论．

（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠GAD＝∠BGA，

∵AG平分∠BAD，

∴∠BAG＝∠GAD，

∴∠BAG＝∠BGA；

（2）解：①若点E在线段AD上，

∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，

∴∠GCF＝45°，

∵AD∥BC，

∴∠AEF＝∠GCF＝45°，

∵∠ABC＝50°，

∴∠DAB＝180°﹣50°＝130°，

∵AG平分∠BAD，

∴∠BAG＝∠GAD＝65°，

∴∠AFC＝65°﹣45°＝20°；

②若点E在DA的延长线上，如图4，

∵∠AGB＝65°，∠BCF＝45°，

∴∠AFC＝∠CGF+∠BCF＝115°+45°＝160°；

（3）解：有两种情况：

①当M在BP的下方时，如图5，

设∠ABC＝4x，

∵∠ABP＝3∠PBG，

∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，

∵AG∥CH，

∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，

∵∠BCD＝90°，

∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，

∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，∠GBM=∠PBM－PBG=x

∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；

②当M在BP的上方时，如图6，

同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，∠GBM=∠PBG＋∠PBM=3x

∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．

综上，的值是5或．