Question

【题目】在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO= ，求EM：MF的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，

∴∠AEO=∠CFO，

在△AEO和△CFO中，

，

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴OE=OF，

又∵OB=OD，

∴四边形BFDE是平行四边形

（2）解：设OM=2x，

∵EF⊥AB，tan∠MBO= ，

∴BM=3x，

又∵AC⊥BD，

∴∠AOM=∠OBM，

∴△AOM∽△OBM，

∴ = ，

∴AM= = x，

∵AD∥BC，

∴△AEM∽△BFM，

∴EM：FM=AM：BM= x：3x=4：9．

【解析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠AEO=∠CFO，然后利用“角角边”证明△AEO和△CFO全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；（2）设OM=x，根据∠MBO的正切值表示出BM，再根据△AOM和△OBM相似，利用相似三角形对应边成比例求出AM，然后根据△AEM和△BFM相似，利用相似三角形对应边成比例求解即可．