Question

【题目】如图，半圆O的直径AB=10，有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动（点C、点D分别不与点A、点B重合），点E、F在AB上，EC⊥CD，FD⊥CD．
（1）求证：EO=OF；
（2）联结OC，如果△ECO中有一个内角等于45°，求线段EF的长；
（3）当动弦CD在弧AB上滑动时，设变量CE=x，四边形CDFE面积为S，周长为l，问：S与l是否分别随着x的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：过点O作OH⊥CD于H，如图所示：

则CH=DH，

∵EC⊥CD，FD⊥CD，OH⊥CD，

∴EC∥OH∥FD，

∵CH=DH，

∴EO=FO；

（2）解：∵OH⊥CD，OC= AB=5，

∴CH= CD=3，

∴OH= = =4，

∵EC∥OH，

∴∠ECO=∠COH≠45°；

①当∠EOC=45°时，过点E作EM⊥OC于M，

则△OEM是等腰直角三角形，

∴EM=OM，

∵∠ECM=∠COH，∠CME=∠OHC=90°，

∴△ECM∽△COH，

∴EM：CM=CH：OH=3：4．

在Rt△ECM中，设EM=3m，CM=4m．则OM=3m，EO= OM=3 m，

∵CM+OM=OC，

∴4m+3m=5，

解得：m= ，

∴EO= ，

EF=2EO= ．

②当∠CEO=45°时，过点O作ON⊥EC于N；．

在Rt△CON中，ON=CH=3，CN=OH=4．

在Rt△EON中，EO=3 ．

∴EF=2OE=6 ．

综上所述，线段EF的长等于 或6

（3）解：四边形CDFE的面积S不随变量x的变化而变化，是一个不变量；

四边形CDFE的周长l随变量x的变化而变化．理由如下：

由①得：EO=FO，CH=DH，

∴OH是梯形EFDC的中位线，

∴EC+FD=2OH=8，

∴四边形CDFE面积为S= （EC+FD）CD=OHCD=4×6=24（0＜x＜8）（是一个常值函数）；

作FG⊥EC于G，则GC=FD=8﹣x，GF=CD=6，

∴EG=EC﹣GC=x﹣（8﹣x）=2x﹣8，

∴EF= = =2 ，

∴四边形CDFE周长l=EF+EC+CD+FD=EF+2OH+CD=2 +14（0＜x＜8），

即l═2 +14（0＜x＜8）．

【解析】（1）过点O作OH⊥CD于H，由垂径定理得出CH=DH，证得EC∥OH∥FD，即可得出结论；（2）由勾股定理求出OH= ═4，由平行线的性质得出∠ECO=∠COH≠45°；分两种情况讨论：①当∠EOC=45°时，过点E作EM⊥OC于M，则△OEM是等腰直角三角形，得出EM=OM，证明△ECM∽△COH，得出EM：CM=CH：OH=3：4．设EM=3m，CM=4m．则OM=3m，EO= OM=3 m，由CM+OM=OC，得出方程4m+3m=5，解方程得出m= ，即可得出EO= ，EF=2EO= ．②当∠CEO=45°时，过点O作ON⊥EC于N；．在Rt△CON中，ON=CH=3，CN=OH=4．在Rt△EON中，EO=3 ．得出EF=2OE=6 即可．（3）证明OH是梯形EFDC的中位线，由梯形中位线定理得出EC+FD=2OH=8，由梯形面积公式得出S= （EC+FD）CD=OHCD=244×6=24（0＜x＜8）；作FG⊥EC于G，则GC=FD=8﹣x，GF=CD=6，求出EG=EC﹣GC=2x﹣8，由勾股定理得出EF= =2 ，得出四边形CDFE周长l=EF+EC+CD+FD=EF+2OH+CD=2 +14（0＜x＜8）．