Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点P是AD上的一动点（与点D、点A不重合），DE⊥CP，垂足为E，EF⊥BE与DC交于点F．

（1）求证：△DEF∽△CEB；

（2）当点P运动到DA的中点时，求证：点F为DC的中点.

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】试题分析：（1）由DE⊥CP，EF⊥BE，则∠1+∠3=∠DEC=90°，∠2+∠3=∠FEB=90°，根据等角的余角相等得∠1=∠2，再根据正方形的性质得∠4+∠6=90°，而∠4+∠5=90°，则∠5=∠6，根据相似三角形的判定即可得到结论；

（2）根据正方形的性质得AD=DC=BC，而点P为DA的中点，则PD= AD=DC，再根据正切的定义得到tan∠4=，tan∠4=，则，然后根据△DEF∽△CEB得到，易得，即可得到结论．

试题解析：（1）∵DE⊥CP，EF⊥BE，

∴∠1+∠3=∠DEC=90°，∠2+∠3=∠FEB=90°，

∴∠1=∠2，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠4+∠6=∠DCB=90°，

而在Rt△DEC中，∠4+∠5=90°，

∴∠5=∠6，

∴△DEF∽△CEB；

（2）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC=BC，

∵点P为DA的中点，

∴PD=AD=DC，

在Rt△PDC中，tan∠4=，

在Rt△DEC中，tan∠4=，

∴，

∵△DEF∽△CEB，

∴，

而CB=DC，

∴，

∴点F为DC的中点．