Question

【题目】操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，设A、P两点间的距离为x．

探究：

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论；

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应x的值；如果不可能，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）、PQ=PB；证明过程见解析；（2）、y=（0≤x＜）；（3）、x＝0或1.

【解析】试题分析：(1)、过点P作MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形，得出NP=NC=MB，从而证明△QNP≌△PMB，从而得出答案；(2)、设AP=x，则M＝MP＝NQ＝DN＝x，BM＝PN＝CN＝1－x，根据题意得出△PBC和△PCQ的面积，然后得出y与x的函数关系式；(3)、本题分三种情况进行讨论，即①当点Q在边DC上；②当点Q在边DC的延长线上；③当点Q与C点重合.

试题解析：(1)、过点P作MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，

△AMP和△CNP都是等腰三角形（如图1），∴NP＝NC＝MB．

∵∠BPQ＝90°∴∠QPN＋∠BPM＝90°，而∠BPM＋∠PBM＝90°∴∠QPN＝∠PBM．

又∵∠QNP＝∠PMB＝90°∴△QNP≌△PMB（ASA），∴PQ＝PB．

(2)、由(1)知△QNP≌△PMB，得NQ＝MP．

设AP＝x，∴AM＝MP＝NQ＝DN＝x，BM＝PN＝CN＝1－x ∴CQ＝CD－DQ＝1－2×x＝1－x

∴S△PBC＝BCBM＝×1×(1－x)＝－x，

S△PCQ＝CQPN＝×(1－x)(1－x)＝，

∴S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝， 即y＝（0≤x＜）．

(3)、△PCQ可能成为等腰三角形．

①当点Q在边DC上，由得：

解得x1＝0，x2＝(舍去)；

②当点Q在边DC的延长线上（如图2），由PC＝CQ得：－x＝x－1，

解得x＝1．

③当点Q与C点重合，△PCQ不存在．

综上所述，x＝0或1时，△PCQ为等腰三角形