Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，P为射线AB上一个动点，过P作PF⊥AC，垂足为F，交CD于点G，连接CP与BF交于点H，过点C，P，F作⊙O．

（1）当AP=5时，求证：∠CPB=∠FBC．

（2）当点P在线段AB上时，若△FCH的面积等于△PBH面积的4倍，求DG的长．

（3）当⊙O与△ADC的其中一边相切时，求所有满足条件的AP的长．

（4）当H将线段CP分成1：4的两部分时，求AP的长(直接写出结果)．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3） 或8或 ；（4）AP=5或AP=20

【解析】

（1）利用已知易证△AFP∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，可得到AC的长，再证明CF=CB，然后利用圆周角定理可证得结论；

（2）利用相似三角形的性质，可证得CF=2PB，设AP=5m，则AF=4m，用含m的代数式表示出PB，CF的长，据此可建立关于m的方程，解方程求出m的值，即可得到AP，AF，CF的长，再利用相似三角形的对应边成比例，可求出CG的长，即可得到DG的长；

（3）①F与C重合时，⊙O与AC相切；②P与B重合时，⊙O与DC相切，可以求出AP的长；③⊙O与AD相切时，设切点为K，如图，设AP=x，分别用含x的代数式表示出PB，OK，PC的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到AP的长；

（4）分情况讨论：①当点P在线段AB上时，如图1，过点P作PM∥AC交BF于点M，设AP=5m，用含m的代数式表示出AF，CF，PB，PM的长，再由PM∶AF=PB：AB，可求出m的值，即可得到AP的长；②当点P在线段AB的延长线上时，如图2，过点C作CM∥AP交BF于点M，用含m的代数式表示出AF，CF，PB，PM的长，再由PM∶AF=PB：AB，可求出m的值，即可得到AP的长.

（1）证明：∵PF⊥AC，

∴∠AFP=∠ABC=90°，

∴△AFP∽△ABC，

∴ ，

∵AB=8，BC=AD=6，

∴AC=10，

∴当AP=5时，AF=4，

∴CF=6，

∴CF=CB，

∴，

∴∠CPB=∠FBC；

（2）解：由题意可知△FCH∽△PBH，

∵△FCH的面积等于△PBH面积的4倍，

∴CF=2PB，

设AP=5m，则AF=4m，

∴PB=8-5m，CF=10-4m，

∴10-4m=2(8-5m)，

∴m=1，

∴AP=5，AF=4，CF=6，

∵△CFG∽△AFP，

∴CG=，

∴DG=；

（3）解：①F与C重合时，⊙O与AC相切，AP= ，

②P与B重合时，⊙O与DC相切，AP=8；

③⊙O与AD相切时，设切点为K，如图，

设AP=x，则PB=8-x，OK=(8+x)

∴PC=8+x，

在Rt△PBC中，由勾股定理可以求得x=，

∴AP= ，

综上所述，AP的长为或8或；

（4）解：AP=5或AP=20.

①当点P在线段AB上时，如图1，过点P作PM∥AC交BF于点M，

设AP=5m，则AF=4m，CF=10-4m，PB=8-5m，

∵PH：CH=1：4，

∴PM=(10-4m)，

再由PM∶AF=PB：AB，得m=1，∴AP=5，

②当点P在线段AB的延长线上时，如图2，过点C作CM∥AP交BF于点M，

设AP=5m，则AF=4m，CF=4m-10，PB=5m-8，

∵PH：CH=4：1，

∴CM=(5m-8)，

再由CM：AB=CF：AF，得m=4，∴AP=20.