Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点A作BD的平行线AE交CB的延长线于点E．

（1）求证：BE＝BC；

（2）过点C作CF⊥BD于点F，并延长CF交AE于点G，连接OG．若BF＝3，CF＝6，求四边形BOGE的周长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）3+21．

【解析】

（1）利用平行线等分线段定理证明即可．

（2）根据勾股定理得BC＝，易证△CBF∽△DBC，得BD＝15，根据矩形的性质和直角三角形的性质得OG＝，利用平行线等分线段定理得BE＝3，由中位线的性质得EG＝6，进而即可求解．

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴OC＝OA，

∵OB∥AE，

∴BC＝BE；

（2）∵CF⊥BD，

∴∠CFB＝90°，

在Rt△BCF中，BC＝，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BCD＝90°＝∠BFC，AC＝BD，

∵∠CBF＝∠DBC，

∴△CBF∽△DBC，

∴，

∴BD＝＝15，OB＝OD＝，

∴AC＝BD＝15，

∵CF⊥BD，BD∥AE，

∴CG⊥AE，

∴∠AGC＝90°，

∵OC＝OA，

∴OG＝AC＝，

∵OC＝OA，OF∥AG，

∴CF＝FG，

∴BC＝BE＝3，

∴EG＝2BF＝6，

∴四边形BOGE的周长＝3+6++＝3+21．