Question

【题目】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y＝ (x>0)的图象经过BC上的点D与AB交于点E，连接DE，若E是AB的中点．

(1)求点D的坐标；

(2)点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求点F的坐标．

Answer 1

【答案】（1）点D的坐标为(1，3)（2）（0， ）或(0，0)

【解析】试题分析:(1)先求出点E的坐标,求出反比例函数解析式,再求出CD=1,即可得出点D的坐标,(2) △FBC和△DEB相似可以分两种情况进行求解, ①当△FBC∽△DEB时,可得,求出CF,得出F点的坐标,利用待定系数法可求出BF的直线解析式,

②当△FBC∽△EDB时,可得,求出C,F,OF,得出F点坐标,利用待定系数法求出直线BF的解析式.

(1)∵四边形OABC为矩形，E为AB的中点，点B的坐标为(2，3)，∴点E的坐标为.∵点E在反比例函数上，∴k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝.∵四边形OABC为矩形，∴点D与点B的纵坐标相同，将y＝3代入y＝可得x＝1，∴点D的坐标为(1，3)

(2)由(1)可得BC＝2，CD＝1，∴BD＝BC－CD＝1.∵E为AB的中点，∴BE＝.若△FBC∽△DEB，则＝，即＝，∴CF＝，∴OF＝CO－CF＝3－＝，∴点F的坐标为；若△FBC∽△EDB，则＝，即＝，∴FC＝3.∵CO＝3，∴点F与点O重合，∴点F的坐标为(0，0)．综上所述，点F的坐标为或(0，0)．