Question

【题目】已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为____．

Answer 1

【答案】：y= x2-2x-3．

【解析】先求出y=x2-2x+1和y=2x-2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=x2+2x+1的顶点A坐标（-1，0），接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C（1，-4），则可设顶点式y=a（x-1）2-4然后把A点代入求出a的值即可得到原抛物线解析式.

解：∵y=x2-2x+1=（x+1）2，∴点A的坐标为（-1，0），

解方程组得或，

∴C′的坐标为（1，4），

∵点C和点C′关于x轴对称，

C（1，-4），

设原抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4，

把A（-1，0）代入求得4a-4=0，解得a=1，

∴原抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4=x2-2x-3．

故答案为：y= x2-2x-3．