Question

【题目】如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合．

（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求证：∠AGD=90°

（2）求图1中重叠部分（△DCG）的面积；

（3）合作交流：“希望”小组受问题（1）（2）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）6；（3） .

【解析】试题分析：（1）由D点是AB的中点易得AD=BD=CD，所以∠DCB=∠DBC；再由△ABC≌△FDE得∠FDE=∠B，从而∠FDE=∠DCB，所以DG∥BC，进而可证∠DGC=90°；

（2）由（1）得DG⊥AC，G是AC的中点．即可求出S△DCG＝×CGDG＝×4×3＝6；

（2）如图2所示：先证明AG=GH，再求出AD＝AB＝5，然后证明△ADH∽△ACB，得出比例式，求出DH＝，即可求出S△DGH＝S△ADH＝××DHAD＝××5＝

试题解析：（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中点，

∴DC=DB=DA．

∴∠B=∠DCB．

又∵△ABC≌△FDE，

∴∠FDE=∠B．

∴∠FDE=∠DCB．

∴DG∥BC．

∴∠AGD=∠ACB=90°．

∴DG⊥AC．

∴∠DGC=90°；

(2)由（1）知：DG⊥AC

∵DC=DA，

∴G是AC的中点．

∴CG＝AC＝×8＝4，DG＝BC＝×6＝3．

∴S△DCG＝×CGDG＝×4×3＝6．

（3）如图2所示：

∵△ABC≌△FDE，

∴∠B=∠1．

∵∠C=90°，ED⊥AB，

∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，

∴∠B=∠2，

∴∠1=∠2，

∴GH=GD，

∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，

∴∠A=∠3，

∴AG=GD，

∴AG=GH，

∴点G为AH的中点；

在Rt△ABC中，AB＝＝10，

∵D是AB中点，

∴AD＝AB＝5，

在△ADH与△ACB中，∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，

∴△ADH∽△ACB，

∴，

∴，

∴DH＝．

∴S△DGH＝S△ADH＝××DHAD＝××5＝.