Question

【题目】如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2﹣ ，求⊙O的半径和BF的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：△ABC是等腰三角形，理由是：如图1，

连接OE，

∵DE是⊙O的切线，

∴OE⊥DE，

∵ED⊥AC，

∴AC∥OE，

∴∠1=∠C，

∵OB=OE，

∴∠1=∠B，

∴∠B=∠C，

∴△ABC是等腰三角形

（2）

解：如图2，

过点O作OG⊥AC，垂足为G，则得四边形OGDE是矩形，

∵△ABC是等腰三角形，

∴∠B=∠C=75°，

∴∠A=180°﹣75°﹣75°=30°，

设OG=x，则OA=OB=OE=2x，AG= x，

∴DG=0E=2x，

根据AC=AB得：4x= x+2x+2﹣ ，

x=1，

∴0E=OB=2，

在直角△OEF中，∠EOF=∠A=30°，

cos30= ，OF= =2÷ = ，

∴BF= ﹣2，⊙O的半径为2

【解析】（1）连接OE，根据切线性质得OE⊥DE，与已知中的ED⊥AC得平行，由此得∠1=∠C，再根据同圆的半径相等得∠1=∠B，可得出三角形为等腰三角形；（2）通过作辅助线构建矩形OGDE，再设与半径有关系的边OG=x，通过AB=AC列等量关系式，可求得结论．本题考查了切线的性质，由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，由此得出平行和角的关系，根据两个角相等的三角形是等腰三角形可得△ABC是等腰三角形；第二问运用了直角三角形30°角的性质及等腰三角形和矩形的有关性质，关键是找出恰当的等量关系式：AC=AB，设未知数，列关于x的一元一次方程得出结论．