Question

【题目】如图，直线y= x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．

（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式及顶点Q的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P，使△BPC的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在写出理由；
（3）直线y=kx﹣6与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当△MNC与△AOC相似时，求点M坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=0代入y= x+4，解得：x=﹣3，

∴A（﹣3，0）．

令x=0，代入y= x+4，得y=4，

∴C（0，4）．

设抛物线F1的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），

把C（0，4）代入上式得，a=﹣ ，

∴y=﹣ x2﹣ x+4．

∴y=﹣ （x2+2x+1）+ ，

∴Q（﹣1， ）．

（2）解：∵点B的坐标为（1，0），取点B关于y轴的对称点B′（﹣1，0），连接CB′，则∠BCO=∠B′CO，

∴△BPC的内心在y轴上．

设直线B′C的解析式为y=kx+b，将点B′和点C的坐标代入得： ，

解得：k=4，b=4．

∴直线B′C的解析式为y=4x+4，

将y=4x+4与y=﹣ x2﹣ x+4联立得： ，

解得： 或 （舍去）．

∴点P的坐标为（﹣5，﹣16）

（3）解：N（0，﹣6），直线AC的表达式为y= x+4．

当△MNC∽△AOC时，∠CMN=90°．

∴直线MN的一次项系数为﹣ ．

∴MN的解析式为y=﹣ x﹣6．

将y= x+4与y=﹣ x﹣6联立，解得： ，

∴点M的坐标为（﹣ ，﹣ ）．

②当∠CNM为直角时，MN∥x轴，

将y=﹣6代入y= x+4得： x+4=﹣6，解得：x=﹣ ．

∴M（﹣ ，﹣6）．

综上所述，点M的坐标为（﹣ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣6）

【解析】（1）先求得点A和点C的坐标，然后利用待定系数法求得二次函数的额解析式，接下来，利用配方法求得抛物线的顶点坐标即可；
（2）取点B关于y轴的对称点B′（-1，0），连接CB′，则∠BCO=∠B′CO，然后求得直线B′C的解析式为，然后将直线B′C的解析式与抛物线的解析式联立可求得点P的坐标；
（3）当∠CMN=90°时，先求得直线MN的解析式，然后将直线AC与直线MN的解析式联立可求得点点M的坐标；当∠CNM为直角时，MN∥x轴，再求得直线MN的解析式，然后将直线AC与直线MN的解析式联立可求得点点M的坐标.