Question

【题目】如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．
（1）求证：CA是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC= ，tan∠AEC= ，求圆的直径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BC是直径，

∴∠BDC=90°，

∴∠ABC+∠DCB=90°，

∵∠ACD=∠ABC，

∴∠ACD+∠DCB=90°，

∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线

（2）解：在Rt△AEC中，tan∠AEC= ，

∴ = ，

EC= AC，

在Rt△ABC中，tan∠ABC= ，

∴ = ，

BC= AC，

∵BC﹣EC=BE，BE=6，

∴ ，

解得：AC= ，

∴BC= × =10，

答：圆的直径是10

【解析】（1）根据圆周角定理BC得到∠BDC=90°，推出∠ACD+∠DCB=90°，即BC⊥CA，即可判断CA是圆的切线；（2）根据锐角三角函数的定义得到tan∠AEC= ，tan∠ABC= ，推出AC= EC，BC= AC，代入BC﹣EC=BE即可求出AC，进一步求出BC即可．