Question

【题目】如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；

（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PD=或PD=；（3）P（﹣，）或P（，）或P（，）．

【解析】

试题分析：（1）先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）由△BDP为等腰直角三角形，判断出BD=PD，建立m的方程计算出m，从而求出PD；

（3）分点P′落在x轴和y轴两种情况计算即可．

试题解析：（1）∵点C（0，4）在直线上，∴n=4，∴，令y=0，∴x=3，∴A（3，0），∵抛物线经过点A，交y轴于点B（0，﹣2），∴c=﹣2，6+3b﹣2=0，∴b=，∴抛物线解析式为；

（2）点P为抛物线上一个动点，设点P的横坐标为m，∴P（m，），∴BD=|m|，PD==，∵△BDP为等腰直角三角形，且PD⊥BD，∴BD=PD，∴|m|=，∴m=0（舍），m=，m=，∴PD=或PD=；

（3）∵∠PBP'=∠OAC，OA=3，OC=4，∴AC=5，∴sin∠PBP'=，cos∠PBP'=，分两种情况讨论：

①当点P'落在x轴上时，过点D'作D'N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'，如图1，

ND'﹣MD'=2，∴，∴m=（舍），或m=﹣；

如图2， ND'+MD'=2，∴，∴m=，或m=﹣（舍），∴P（﹣，）或P（，）；

②当点P'落在y轴上时，如图3，过点D′作D′M⊥x轴，交BD于M，过P′作P′N⊥y轴，∴∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，∵P′N=BM，∴，∴m=，∴P（，）；

综上所述：P（﹣，）或P（，）或P（，）．