Question

【题目】如图，A，B，C是⊙O上的三上点，且四边形OABC是菱形，请用无刻度直尺完成下列作图。

（1）如图①，作出线段OA的垂直平分线；

（2）如图②，作出线段BC的垂直平分线。

图① 图②

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）延长CO交⊙O于点E，连接BE交OA于M．由OABC是菱形的性质得到OC∥AB，OC=AB，通过证明△EOM≌BAM，得到AM=OM．连接OB，得到△OAB是等边三角形，即可得到结论；

（2）在图（1）的基础上，连接AC，交OB于N，作直线MN交BC于F，作直线OF．

由OABC是菱形，得到ON=BN，从而得到MN∥AB，由平行线等分线段定理得到CF=BF，再由等腰三角形的性质即可得出结论．

（1）延长CO交⊙O于点E，连接BE交OA于M．

∵OABC是菱形，∴OC∥AB，OC=AB．

∵EO=OC，∴EO=AB．

∵OC∥AB，∴∠E=∠MBA，∠EOM=∠BAM，∴△EOM≌BAM，∴AM=OM．连接OB，则OB=OA=AB，∴△OAB是等边三角形，∴BM⊥OA，∴BE是OA的垂直平分线．

（2）在图（1）的基础上，连接AC，交OB于N，作直线MN交BC于F，作直线OF．

∵OABC是菱形，∴ON=BN．

∵OM=AM，∴MN∥AB，∴CF=BF．

∵OC=OB，∴OF⊥BC，∴OF为BC的垂直平分线．