Question

【题目】(2016湖北省荆州市第21题)如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．

Answer 1

【答案】△A′DE是等腰三角形；证明过程见解析.

【解析】

试题分析：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先证明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根据A′D=DE=EF即可证明．

试题解析：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．

理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB， ∴CD=DA=DB， ∴∠DAC=∠DCA，

∵A′C∥AC， ∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA， ∴∠DA′E=∠DEA′， ∴DA′=DE，

∴△A′DE是等腰三角形． ∵四边形DEFD′是菱形， ∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，

∴∠CEF=∠DA′E，∠EFC=∠CD′A′， ∵CD∥C′D′， ∴∠A′DE=∠A′D′C=∠EFC，

在△A′DE和△EFC′中，， ∴△A′DE≌△EFC′．