Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx经过两点A（﹣1，1），B（2，2）．过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D．

（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；
（2）若抛物线上存在点M，使得△BCM的面积为 ，求出点M的坐标；
（3）连接OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，1），B（2，2）代入y=ax2+bx得： ，解得 ，

故抛物线的函数表达式为y= x2﹣ x，

∵BC∥x轴，

设C（x0，2）．

∴ x02﹣ x0=2，解得：x0=﹣ 或x0=2，

∵x0＜0，

∴C（﹣ ，2）

（2）

解：设△BCM边BC上的高为h，

∵BC= ，

∴S△BCM= h= ，

∴h=2，点M即为抛物线上到BC的距离为2的点，

∴M的纵坐标为0或4，令y= x2﹣ x=0，

解得：x1=0，x2= ，

∴M1（0，0），M2（ ，0），令y= x2﹣ x=4，

解得：x3= ，x4=

，∴M3（ ，0），M4（ ，4），

综上所述：M点的坐标为：（0，0），（ ，0），（ ，0），（ ，4）

（3）

解：∵A（﹣1，1），B（2，2），C（﹣ ，2），D（0，2），

∴OB=2 ，OA= ，OC= ，

∴∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD= ，

①如图1，

当△AOC∽△BON时， ，∠AOC=∠BON，

∴ON=2OC=5，

过N作NE⊥x轴于E，

∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠BON=∠NOE，

在Rt△NOE中，tan∠NOE=tan∠COD= ，

∴OE=4，NE=3，

∴N（4，3）同理可得N（3，4）；

②如图2，

当△AOC∽△OBN时， ，∠AOC=∠OBN，

∴BN=2OC=5，

过B作BG⊥x轴于G，过N作x轴的平行线交BG的延长线于F，

∴NF⊥BF，

∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠OBN=∠NBF，

∴tan∠NBF=tan∠COD= ，

∴BF=4，NF=3，

∴N（﹣1，﹣2），同理N（﹣2，﹣1），

综上所述：使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标是（4，3），（3，4），（﹣1，﹣2），（﹣2，﹣1）．

【解析】（1）把A（﹣1，1），B（2，2）代入y=ax2+bx求得抛物线的函数表达式为y= x2﹣ x，由于BC∥x轴，设C（x0 ， 2）．于是得到方程 x02﹣ x0=2，即可得到结论；（2）设△BCM边BC上的高为h，根据已知条件得到h=2，点M即为抛物线上到BC的距离为2的点，于是得到M的纵坐标为0或4，令y= x2﹣ x=0，或令y= x2﹣ x=4，解方程即可得到结论；（3）解直角三角形得到OB=2 ，OA= ，OC= ，∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD= ①如图1，当△AOC∽△BON时，求得ON=2OC=5，过N作NE⊥x轴于E，根据三角函数的定义得到OE=4，NE=3，于是得到结果；②如图2，根据相似三角形的性质得到BN=2OC=5，过B作BG⊥x轴于G，过N作x轴的平行线交BG的延长线于F解直角三角形得到BF=4，NF=3于是得到结论．本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质和相似三角形的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形才能正确解答此题．