Question

【题目】如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F， AD交CE于H.

（1）求证：∠CAD=∠CBE

（2）求证：FH∥BD.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】分析：（1）根据等边三角形的性质就可以得出AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由SAS就可以得出△BCE≌△ACD，从而得出∠CAD=∠CBE；（2）FH与BD平行，由两边相等且一角为60°的三角形为等边三角形得到三角形FCH为等边三角形，利用等边三角形的性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．

证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，

∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，

∴在△BCE和△ACD中，∵ ，∴△BCE≌△ACD （SAS）.

∴∠CAD=∠CBE

（2）由（1）知△BCE≌△ACD，则∠CBF=∠CAH，BC=AC

又∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，

∴∠ACH=180°﹣∠ACB﹣∠HCD=60°=∠BCF，

在△BCF和△ACH中，∵ ，∴△BCF≌△ACH （ASA），∴CF=CH，

又∵∠FCH=60°，∴△CHF为等边三角形∴∠FHC=∠HCD=60°，∴FH∥BD.