Question

【题目】已知抛物线与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；

（3）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（-4，0）或（-5，-3）；（3）E（-7，0）或（-1，0）或或.

【解析】

试题分析：（1）把A、B坐标代入解析式可求得抛物线解析式；（2）先证明∠ACB=90°，点A就是所求的点P，求出直线AC解析式，再求出过点B平行AC的直线的解析式，利用方程组即可解决问题．（3）分AC为平行四边形的边，AC为平行四边形的对角线两种切线讨论即可解决问题．

试题解析：（1）把A（-4，0）、B（1，0）坐标代入解析式得 ，解得.∴.（2）当x=0，y═﹣ x2﹣ x+2=2，则C（0，2），∴OC=2，∵A（﹣4，0），B（1，0），

∴OA=4，OB=1，AB=5，当∠PCB=90°时，∵AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=52=25，∴AC2+BC2=AB2.∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，∴当点P与点A重合时，△PBC是以BC为直角边的直角三角形，此时P点坐标为（﹣4，0）；当∠PBC=90°时，PB∥AC，如图1，设直线AC的解析式为y=mx+n，则解得，∴直线AC的解析式为y= x+2，∵BP∥AC，∴直线BP的解析式为，把B（1，0）代入得，解得p=，∴直线BP的解析式为，解方程组得或，此时P点坐标为（﹣5，﹣3）；综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣4，0）或（﹣5，﹣3）；

（3）存在点E，设点E坐标为（m，0），F.①当AC为边，CF1∥AE1，易知CF1=3，此时E1坐标（﹣7，0），②当AC为边时，AC∥EF，易知点F纵坐标为﹣2，∴，解得n=，得到F2（，﹣2），F3（，﹣2），∴，解得m=.∴E2，E3，③当AC为对角线时，AE4=CF1=3，此时E4（﹣1，0），

综上所述满足条件的点E坐标为（-7，0）或（-1，0）或或.