Question

【题目】已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，

（1）求∠BPQ的度数．

（2）求证：BP=2PQ．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：

（1）由△ABC是等边三角形可得：AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，结合已知AE=CD，易证△BAE≌△ACD，从而可得∠ABE=∠CAD；由三角形外角的性质易得：∠BPQ=∠BAP+∠ABE，再由∠BAP+∠CAE=∠BAC=60°，可得∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAE=60°；

（2）由BQ⊥AD于Q可得∠BQP=90°，结合∠BPQ=60°可得∠PBQ=30°，由直角三角形中30°的锐角所对直角边是斜边的一半可得：PQ=BP，∴BP=2PQ.

试题解析：

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，

在△ABE和△CAD中，

∵AB=AC，∠BAE=∠C=60°，AE=CD，

∴△ABE≌△CAD（SAS），

∴∠ABE=∠CAD，

∴∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=60°.

（2）∵BQ⊥AD，

∴∠BQP=90°，

∴∠PBQ=90°﹣∠BPQ=90°﹣60°=30°，

∴BP=2PQ．