Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，AG交CD于K，E为CD延长线上一点，且EK=EG，EG的延长线交AB的延长线于F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若DK=2HK=AK，CH= ，求图中阴影部分的面积S．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OG，如图1所示：

∵弦CD⊥AB于点H，

∴∠AHK=90°，

∴∠HKA+∠KAH=90°，

∵EG=EK，

∴∠EGK=∠EKG，

∵∠HKA=∠GKE，

∴∠HAK+∠KGE=90°，

∵AO=GO，

∴∠OAG=∠OGA，

∴∠OGA+∠KGE=90°，

∴GO⊥EF，

∴EF是⊙O的切线

（2）解：∵CD⊥AB，

∴DH=CH= ，

∵DK=2HK=AK，

∴∠HAK=30°，HK= DH= ，

∴AH= HK= ，

连接OD，如图2所示：

设⊙O的半径为R，

在Rt△ODH中，由勾股定理得：（ ）2+（R﹣ ）2=R2，

解得：R=2 ，

∴OH=OA﹣AH= = OD，

∴∠ODH=30°，△ODH的面积= OHDH= × × = ，

∴∠DOH=60°，

∴∠BOD=120°，

∴扇形OBGD的面积= = ，

∵OA=OG，

∴∠OGA=∠HAK=30°，

∴∠EGK=90°﹣30°=60°，

又∵EK=EG，

∴△GEK是等边三角形，

∴∠E=60°，

∴∠F=90°﹣60°=30°，

∵GO⊥EF，

∴OF=2OG=4 ，

∴HF=OH+OF=5 ，

∴HE= HF= ，

∴△EFH的面积= HFHE= ×5 × = ，

∴图中阴影部分的面积S= ﹣ ﹣ = ﹣

【解析】（1）连接OG，首先证明∠EGK=∠EKG，再证明∠HAK+∠KGE=90°，进而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF，进而证明EF是⊙O的切线；（2）与已知条件得出∠HAK=30°，HK= DH= ，AH= HK= ，连接OD，设⊙O的半径为R，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，得出OH= OD，求出∠ODH=30°，△ODH的面积= ，再求出∠BOD=120°，得出扇形OBGD的面积= ，证明△GEK是等边三角形，求出OF=2OG=4 ，得出HF=OH+OF=5 ，求出HE= ，计算出△EFH的面积，即可得出结果．
【考点精析】关于本题考查的垂径定理和扇形面积计算公式，需要了解垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）才能得出正确答案．