Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．

(1)求证：AC平分∠DAB；

(2)求证：PC＝PF；

(3)若tan∠ABC＝，AB＝14，求线段PC的长．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；（3）24．

【解析】

（1）由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB；
（2）由条件可得∠CAO=∠PCB，结合条件可得∠PCF=∠PFC，即可证得PC=PF；
（3）易证△PAC∽△PCB，由相似三角形的性质可得到 ，又因为tan∠ABC= ，所以可得=，进而可得到=，设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，利用勾股定理可得PC2+OC2=OP2，进而可建立关于k的方程，解方程求出k的值即可求出PC的长．

（1）证明：∵PD切⊙O于点C，

∴OC⊥PD，

又∵AD⊥PD，

∴OC∥AD，

∴∠ACO=∠DAC．

∵OC=OA，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

即AC平分∠DAB；

（2）证明：∵AD⊥PD，

∴∠DAC+∠ACD=90°．

又∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∴∠PCB+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠PCB．

又∵∠DAC=∠CAO，

∴∠CAO=∠PCB．

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACF=∠BCF，

∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，

∴∠PFC=∠PCF，

∴PC=PF；

（3）解：∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，

∴△PAC∽△PCB，

∴．

又∵tan∠ABC=，

∴，

∴，

设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，

∵PC2+OC2=OP2，

∴（4k）2+72=（3k+7）2，

∴k=6 （k=0不合题意，舍去）．

∴PC=4k=4×6=24．